Sådan Beregner Du Standardafvigelsen (Trin for Trin)

Standardafvigelsen viser hvor meget en række tal spreder sig omkring deres gennemsnit. Du finder først gennemsnittet, beregner den kvadrerede afvigelse for hver værdi i forhold til det, tager gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser og slutter med at tage kvadratroden. Der findes to udgaver af beregningen: en stikprøveversion, der deler med n minus 1, og en populationsversion, der deler med n. Hvilken du skal bruge afhænger af, om dine data dækker hele den gruppe du er interesseret i, eller kun et udpluk af den.

Hvorfor det betyder noget

Gennemsnittet fortæller dig hvor et datasæt er centreret. Det siger ingenting om hvor ensartede værdierne er indbyrdes. To grupper kan ramme nøjagtig samme gennemsnit og alligevel beskrive helt forskellige situationer.

Tag to klasser med hver fem karakterer, begge med et gennemsnit på præcis 70:

	Karakterer	Gennemsnit	Population-SD	Stikprøve-SD
Klasse A	68, 70, 72, 70, 70	70	1,26	1,41
Klasse B	50, 90, 60, 80, 70	70	14,14	15,81

Karaktererne i Klasse A ligger tæt omkring 70, ingen elev afviger mere end to point fra gennemsnittet, så standardafvigelsen bliver lille. Klasse B har samme gennemsnit, men de enkelte karakterer spænder fra 50 til 90. Nogle har kæmpet, andre har præsteret fremragende, og gennemsnittet på 70 skjuler den kløft fuldstændigt. Ser man kun på gennemsnittet, virker de to klasser identiske. Standardafvigelsen viser at de ikke er det.

Population eller stikprøve: hvilken formel skal du bruge

Begge formler starter ens: træk gennemsnittet fra hver værdi, kvadrer resultatet, læg kvadraterne sammen. Forskellen ligger alene i divisoren.

Populationsstandardafvigelsen deler summen af de kvadrerede afvigelser med n, det samlede antal værdier. Brug den når dit datasæt allerede indeholder alt det du er interesseret i, for eksempel karaktererne for hver elev i en bestemt klasse eller vægten af hver æske en maskine har produceret i en given vagt.

Stikprøvestandardafvigelsen deler i stedet med n minus 1. Brug den når dine data kun er et udsnit af en større gruppe, og du forsøger at vurdere spredningen i den fulde gruppe ud fra en mindre mængde, for eksempel en meningsmåling blandt 200 vælgere for at vurdere en hel vælgerskare, eller måling af 10 æsker ud af en dagsproduktion på 50.000 stykker. At dele med et mindre tal gør resultatet en anelse større, hvilket opvejer at en stikprøve har tendens til at undervurdere den sande spredning i gruppen. I statistik kaldes dette Bessel-korrektionen.

Er du i tvivl om hvilken formel der passer, så spørg dig selv om der findes flere værdier af samme slags uden for dine data. Hvis ja, arbejder du næsten sikkert med en stikprøve. Ved store datasæt bliver forskellen mellem de to formler i øvrigt lille, fordi n og n minus 1 næsten er ens. Ved fem eller ti værdier, som i eksemplerne her, kan valget derimod mærkes tydeligt, så tjek det inden du sender et resultat videre.

Regneeksempel: vægtkontrol på cerealiefabrikken

En fabrik sigter efter 500 gram per pakke morgenmadscerealier. Kvalitetskontrollen tager ti pakker fra linjen og vejer hver enkelt, i gram:

498, 502, 501, 497, 503, 500, 499, 502, 496, 501

Trin 1: find gennemsnittet. Læg de ti vægte sammen: 498 + 502 + 501 + 497 + 503 + 500 + 499 + 502 + 496 + 501 = 4999. Del med 10: gennemsnit = 499,9 gram. Den tungeste pakke vejer 503g, den letteste 496g, en variationsbredde på 7 gram.

Trin 2: find afvigelsen for hver pakke og kvadrer den.

Pakke	Vægt (g)	Afvigelse fra gennemsnit	Kvadreret afvigelse
1	498	-1,9	3,61
2	502	2,1	4,41
3	501	1,1	1,21
4	497	-2,9	8,41
5	503	3,1	9,61
6	500	0,1	0,01
7	499	-0,9	0,81
8	502	2,1	4,41
9	496	-3,9	15,21
10	501	1,1	1,21

Trin 3: læg de kvadrerede afvigelser sammen. Sidste kolonne summer til: 3,61 + 4,41 + 1,21 + 8,41 + 9,61 + 0,01 + 0,81 + 4,41 + 15,21 + 1,21 = 48,9.

Trin 4: del og tag kvadratroden. De ti pakker er en stikprøve fra en meget større produktion, så begge tal er værd at kende. Behandler man de ti pakker som hele populationen, deler man med 10: varians = 48,9 / 10 = 4,89, standardafvigelse = √4,89 ≈ 2,21 gram. Behandler man dem som en stikprøve fra en større produktion, deler man med n minus 1 = 9: varians ≈ 48,9 / 9 = 5,43, standardafvigelse = √5,43 ≈ 2,33 gram.

Uanset hvilken man vælger, fortæller resultatet kvalitetsteamet noget gennemsnittet alene ikke viser: de fleste pakker ligger inden for omkring 2 til 2,3 gram fra 499,9g, så processen kører stabilt tæt på målet uden at en enkelt afviger forvrider billedet. Lå standardafvigelsen i stedet på 8 eller 10 gram, ville samme fabrik fortælle en helt anden historie: nogle pakker langt under målvægten, andre langt over, selv hvis gennemsnittet stadig tilfældigvis endte nær 500 gram.

Beregn med dine egne tal

Indsæt din egen liste af værdier og få gennemsnit, begge standardafvigelser og variansen med det samme.

Standardafvigelse-Beregner

Gratis, ingen tilmelding, virker på alle enheder.

Åbn hele værktøjet

Almindelige fejl

Middele de rå afvigelser i stedet for at kvadrere dem først. Trækker man gennemsnittet fra hver værdi og tager gennemsnittet af de differencer direkte, får man altid nul, fordi positive og negative afvigelser per definition ophæver hinanden. Det er kvadreringen der gør spredningen synlig som et positivt tal.

Angive variansen som om den var standardafvigelsen. Variansen er gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser, standardafvigelsen er kvadratroden af den. Enhederne er også forskellige: måler man gram, ender variansen i gram i anden potens, hvilket i sig selv siger meget lidt. At glemme det sidste trin, kvadratroden, er en af de hyppigste fejl ved en håndberegning.

Dele med n selvom dataene er en stikprøve. At bruge n i stedet for n minus 1 undervurderer hvor meget den egentlige population sandsynligvis spreder sig, især ved små datasæt. Forskellen mellem at dele med 9 og at dele med 10 virker lille ved ti pakker, men bliver langt mere mærkbar ved mindre stikprøver.

Forveksle stikprøve- og populationsformlen. Nogle regnemaskiner bruger populations-SD som standard, andre stikprøve-SD, og en forveksling kan få to korrekte resultater til at ligne en fejl. Tjek altid hvilken divisor der er brugt, før du sammenligner tal fra forskellige kilder.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er den egentlige forskel på stikprøve- og populationsstandardafvigelse? Populationsstandardafvigelsen deler summen af de kvadrerede afvigelser med n, det fulde antal værdier. Stikprøvestandardafvigelsen deler med n minus 1 i stedet. Ved samme data bliver stikprøveudgaven altid en anelse større, fordi division med et mindre tal giver et større resultat. Brug population-SD kun når dit datasæt er hele den undersøgte gruppe, og stikprøve-SD når det kun er et udsnit der skal bruges til at vurdere noget større.

Hvad regnes som en “lav” eller “høj” standardafvigelse? Det afhænger helt af skalaen og konteksten for det der måles. En standardafvigelse på 2 gram er stram for morgenmadspakker, men ville være enorm for vægten af et enkelt riskorn. Et brugbart mål er forholdet til gennemsnittet: en standardafvigelse der kun udgør en lille brøkdel af gennemsnittet peger på tætte data, en stor brøkdel peger på bred spredning. Der findes ingen universel grænse der gælder for alle datasæt.

Kan standardafvigelsen være negativ? Nej. Fordi hver afvigelse kvadreres før man tager gennemsnittet, kan udtrykket under kvadratroden aldrig blive negativt, og kvadratroden selv er defineret som ikke-negativ. Den mindst mulige standardafvigelse er nul, og det sker kun når alle værdier i datasættet er identiske.

Hvordan hænger standardafvigelsen sammen med variansen? Variansen er gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra gennemsnittet. Standardafvigelsen er blot kvadratroden af den. Begge måler den samme underliggende spredning, men standardafvigelsen er som regel mere brugbar i praksis, fordi den udtrykkes i samme enheder som de oprindelige data (gram, kroner, point), mens variansen står i kvadrerede enheder der ikke direkte kan henføres til noget fysisk.