Standart Sapma Nasıl Hesaplanır (Adım Adım)

Standart sapma, bir sayı grubunun ortalaması etrafında ne kadar dağıldığını gösterir. Önce ortalamayı bulursunuz, sonra her değerin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu hesaplayıp bu farkların karesini alırsınız, kareleri ortalarsınız ve son olarak karekökünü alırsınız. Bu formülün iki hali var: n eksi 1’e bölen örneklem versiyonu ve n’e bölen ana kütle versiyonu. Hangisini kullanacağınız, elinizdeki verinin ilgilendiğiniz grubun tamamı mı yoksa ondan alınmış bir parça mı olduğuna bağlı.

Neden önemli

Ortalama, bir veri setinin merkezinin nerede olduğunu söyler. Değerlerin birbirine ne kadar yakın olduğu hakkında hiçbir şey söylemez. İki sınıf bir sınavda tam olarak aynı ortalamayı alabilir ve yine de bir öğretmen için tamamen farklı iki durumu ifade edebilir.

Ortalaması tam olarak 70 olan beşer notluk iki grup düşünün:

	Notlar	Ortalama	Ana Kütle SS	Örneklem SS
A Sınıfı	68, 70, 72, 70, 70	70	1,26	1,41
B Sınıfı	50, 90, 60, 80, 70	70	14,14	15,81

A Sınıfının notları 70 civarında sıkı bir şekilde kümelenmiş durumda. Her öğrenci ortalamaya iki puan mesafede kaldığı için standart sapma küçük çıkıyor. B Sınıfının ortalaması aynı, fakat tek tek notlar 50 ile 90 arasında değişiyor. Bazı öğrenciler zorlanmış, bazıları çok iyi yapmış, ve 70 ortalaması bu farkı tamamen gizliyor. Yalnızca ortalamaya bakan bir öğretmen iki sınıfın aynı performansı gösterdiğini düşünebilir. Standart sapma ise durumun öyle olmadığını gösteriyor.

Bu fark bir sınıf içinde küçük bir merak konusu gibi görünebilir, ama aynı mantık üretim hattından anket sonuçlarına kadar her yerde geçerli. İki ürün grubu, iki reklam kampanyası ya da iki yatırım fonu aynı ortalama getiriyi gösterebilir; hangisinin daha öngörülebilir olduğunu söyleyen ortalama değil, standart sapmadır.

Ana kütle mi örneklem mi: hangi formül kullanılır

İki formül de aynı şekilde başlar: her değerden ortalamayı çıkarır, sonucu karesini alır ve kareleri toplarsınız. Aralarındaki fark yalnızca neye böldüğünüzde ortaya çıkar.

Ana kütle standart sapması, kareler toplamını n’e, yani toplam değer sayısına böler. Verileriniz zaten incelediğiniz grubun tamamını kapsıyorsa bunu kullanın; örneğin belirli bir sınıftaki tüm öğrencilerin notları ya da bir vardiyada üretilen tüm kutuların ağırlığı gibi.

Örneklem standart sapması ise n yerine n eksi 1’e böler. Verileriniz daha büyük bir grubun bir kesitiyse ve o büyük grubun dağılımını küçük bir parçadan tahmin etmeye çalışıyorsanız bu formülü kullanın; tüm bir seçmen kitlesini tahmin etmek için 200 seçmenle anket yapmak ya da günlük 50.000 kutuluk üretimden sadece 10 kutuyu ölçmek gibi. Daha küçük bir sayıya (n eksi 1) bölmek sonucu biraz büyütür, bu da bir örneklemin genellikle kaynaklandığı grubun gerçek değişkenliğini olduğundan az göstermesini telafi eder. İstatistikçiler buna Bessel düzeltmesi diyor.

Hangisinin geçerli olduğundan emin değilseniz, elinizdekinin ötesinde aynı türden başka veri olup olmadığını sorun. Cevap evetse, büyük ihtimalle bir örneklemle çalışıyorsunuzdur.

Pratikte çoğu araştırmacı ve analist örneklem formülünü varsayılan olarak kullanır, çünkü elindeki veri neredeyse hiçbir zaman incelenmek istenen grubun tam ve eksiksiz hali değildir. Bir anket, bir laboratuvar deneyi ya da bir kalite kontrol turu, hep daha büyük bir gerçekliğin küçük bir kesitidir. Ana kütle formülünü kullanmak, yalnızca elinizdeki listenin gerçekten tüm evreni kapsadığından emin olduğunuz durumlarda haklı çıkar.

Sayısal örnek: tahıl gevreği kutularının ağırlığını kontrol etmek

Bir fabrika kutu başına 500 gram hedefliyor. Kalite kontrol ekibi üretim hattından on kutu çekip her birini tartıyor, gram cinsinden:

498, 502, 501, 497, 503, 500, 499, 502, 496, 501

Adım 1: Ortalamayı bulun. On ağırlığı toplayın: 498 + 502 + 501 + 497 + 503 + 500 + 499 + 502 + 496 + 501 = 4999. 10’a bölün: ortalama = 499,9 gram. En ağır kutu 503g, en hafif kutu 496g, yani aralık 7 gram.

Adım 2: Her sapmayı bulun ve karesini alın.

Kutu	Ağırlık (g)	Ortalamadan sapma	Karesi
1	498	-1,9	3,61
2	502	2,1	4,41
3	501	1,1	1,21
4	497	-2,9	8,41
5	503	3,1	9,61
6	500	0,1	0,01
7	499	-0,9	0,81
8	502	2,1	4,41
9	496	-3,9	15,21
10	501	1,1	1,21

Adım 3: Kareleri toplayın. Son sütunu toplarsak: 3,61 + 4,41 + 1,21 + 8,41 + 9,61 + 0,01 + 0,81 + 4,41 + 15,21 + 1,21 = 48,9.

Adım 4: Bölün ve karekökünü alın. Bu on kutu çok daha büyük bir üretim akışından alınmış bir örneklem olduğu için, her iki değeri de bilmekte fayda var. Kutuların tamamının ana kütle olduğunu varsayarsanız 10’a bölersiniz: varyans = 48,9 / 10 = 4,89, standart sapma = √4,89 ≈ 2,21 gram. Bunları daha büyük bir üretimin örneklemi olarak ele alırsanız n eksi 1 = 9’a bölersiniz: varyans ≈ 48,9 / 9 = 5,43, standart sapma = √5,43 ≈ 2,33 gram.

Her iki durumda da sonuç, kalite ekibine ortalamanın tek başına söyleyemeyeceği bir şeyi anlatıyor: kutuların çoğu 499,9g etrafında 2 ila 2,3 gram aralığında kalıyor, yani süreç tek bir aykırı değerin tabloyu bozmadan hedefe yakın ve düzenli işliyor.

Kendi sayılarınızla hesaplayın

Kendi değer listenizi aşağıya yapıştırın; ortalama, her iki standart sapma ve varyans anında hesaplansın.

Standart Sapma Hesaplama

Ücretsiz, kayıt yok, her cihazda çalışır.

Tam aracı aç

Yaygın hatalar

Sapmaları karesini almadan önce ortalamak. Her değerden ortalamayı çıkarıp bu farkları doğrudan ortalarsanız her zaman sıfır elde edersiniz, çünkü negatif ve pozitif sapmalar tanım gereği birbirini götürür. Önce karesini almak, dağılımı pozitif bir sayı olarak görünür kılan adımdır.

Varyansı standart sapma gibi sunmak. Varyans, karesi alınmış sapmaların ortalamasıdır; standart sapma ise onun karekökü. Birimleri de farklıdır. Gram cinsinden ölçüm yapıyorsanız varyans gram kare cinsinden çıkar, ki bu tek başına bir anlam ifade etmez. Son karekök adımını atlamak, elle yapılan hesaplarda en sık rastlanan hatalardan biri.

Örneklem verisi için n eksi 1 yerine n’e bölmek. Bir örneklem için n kullanmak, gerçek ana kütlenin ne kadar dağınık olduğunu olduğundan düşük göstermeye yol açar; özellikle küçük veri setlerinde bu fark daha da belirginleşir. On kutu için 9’a bölmek ile 10’a bölmek arasındaki fark küçük görünebilir, ama örneklem küçüldükçe bu fark daha çok hissedilir.

Hangi formülün kullanıldığını karıştırmak. Bazı hesaplayıcılar varsayılan olarak ana kütle standart sapmasını, bazıları örneklem standart sapmasını verir; bu uyuşmazlık iki “doğru” sonucu birbiriyle çelişiyormuş gibi gösterebilir. Farklı kaynaklardan gelen sonuçları karşılaştırmadan önce hangi bölenin kullanıldığını kontrol edin.

Sıkça sorulan sorular

Örneklem ve ana kütle standart sapması arasındaki fark tam olarak nedir? Ana kütle standart sapması, kareler toplamını n’e böler (tam sayım). Örneklem standart sapması n eksi 1’e böler. Aynı veri için örneklem değeri her zaman biraz daha büyük çıkar, çünkü daha küçük bir sayıya bölmek daha büyük bir sonuç verir. Ana kütle formülünü yalnızca verileriniz incelediğiniz grubun tamamı olduğunda, örneklem formülünü ise verileriniz daha büyük bir şeyi tahmin etmeye yarayan bir alt küme olduğunda kullanın.

Pratikte “düşük” ya da “yüksek” standart sapma ne anlama gelir? Bu tamamen ölçtüğünüz şeyin ölçeğine ve bağlamına bağlıdır. 2 gramlık bir standart sapma tahıl gevreği kutuları için sıkı bir dağılım sayılır, ama tek bir pirinç tanesinin ağırlığını ölçerken devasa kalır. Yararlı bir yaklaşım, sonucu ortalamayla kıyaslamaktır: ortalamanın küçük bir kesri kadar olan standart sapma sıkı kümelenmiş veriyi, büyük bir kesri kadar olan ise geniş bir değişkenliği işaret eder. Her veri setine uygulanabilecek evrensel bir eşik yok.

Standart sapma negatif olabilir mi? Hayır. Her sapma ortalanmadan önce karesi alındığı için karekök içindeki değer asla negatif olamaz, ve bir karekök de tanımı gereği negatif olmayan bir sonuç verir. Mümkün olan en düşük standart sapma sıfırdır, bu da yalnızca veri setindeki tüm değerler birbirine eşit olduğunda gerçekleşir.

Standart sapma varyansla nasıl ilişkilidir? Varyans, ortalamadan sapmaların karelerinin ortalamasıdır. Standart sapma ise basitçe varyansın karekökü. İkisi de aynı temel dağılımı ölçer, ama standart sapma günlük yorumlama için genellikle daha kullanışlıdır çünkü orijinal veriyle aynı birimde ifade edilir (gram, dolar, puan), varyans ise fiziksel olarak bir karşılığı olmayan kare birimlerle ifade edilir.