ggT und kgV berechnen: größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, in die alle diese Zahlen ohne Rest hineinpassen. Für 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36, und genau an diesem Zahlenpaar lässt sich der ganze Rechenweg gut nachvollziehen.

Beide Größen tauchen häufiger auf, als man zunächst denkt. Beim Kürzen und Addieren von Brüchen braucht man den ggT zum Vereinfachen und das kgV als gemeinsamen Nenner. Bei Terminplanung sagt das kgV, wann sich mehrere wiederkehrende Ereignisse wieder überschneiden. Bei Zahnrädern und Riemen bestimmt das Verhältnis von ggT und kgV, wie oft sich zwei rotierende Teile wieder in derselben Ausgangsstellung treffen. Auch beim Herunterskalieren eines Rezepts oder eines Mischungsverhältnisses auf die kleinsten ganzzahligen Anteile ist der ggT das Werkzeug der Wahl.

Der euklidische Algorithmus

Für zwei Zahlen a und b, wobei a größer ist als b, läuft der euklidische Algorithmus in drei Schritten:

1. Teile a durch b und notiere den Rest r.
2. Ersetze a durch b und b durch r.
3. Wiederhole das, bis r gleich 0 ist. Der letzte Wert von b, der noch nicht null war, ist der ggT.

Am Beispiel von 12 und 18 sieht das so aus:

Dividend	Divisor	Quotient	Rest
18	12	1	6
12	6	2	0

Der zweite Schritt endet mit Rest 0, also ist der letzte Divisor ungleich null, die 6, der gesuchte ggT. ggT(12, 18) = 6.

Sobald der ggT feststeht, ergibt sich das kgV fast von selbst: kgV(a, b) = (a × b) / ggT(a, b). Für unser Paar also kgV(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 36.

Das lässt sich direkt an einer Bruchaufgabe zeigen. Um 1/12 und 1/18 zu addieren, braucht man einen gemeinsamen Nenner, und der kleinste mögliche ist genau das kgV, also 36. 1/12 wird zu 3/36, 1/18 wird zu 2/36, die Summe ist 5/36. Würde man stattdessen 12/18 kürzen wollen, wäre der ggT der richtige Wert dafür: 12/18 geteilt durch 6 im Zähler und im Nenner ergibt 2/3.

Die Formel ggT × kgV = a × b

Für genau zwei Zahlen gilt ein hübscher Zusammenhang: das Produkt aus ggT und kgV entspricht immer dem Produkt der beiden Ausgangszahlen. Bei 12 und 18 lässt sich das direkt nachrechnen: 6 × 36 = 216, und 12 × 18 = 216. Beide Seiten stimmen überein.

Diese Formel funktioniert allerdings nur mit exakt zwei Zahlen. Sobald eine dritte Zahl dazukommt, gilt ggT(a, b, c) × kgV(a, b, c) im Allgemeinen nicht mehr gleich a × b × c. Das ist einer der häufigsten Fehler bei diesem Thema, viele übertragen die Zwei-Zahlen-Formel unbewusst auf drei oder mehr Werte und wundern sich, warum das Ergebnis nicht passt.

Drei Zahlen auf einmal

Terminplanung: kgV von drei Zahlen

Angenommen, eine Aufgabe wiederholt sich alle 4 Tage, eine zweite alle 6 Tage und eine dritte alle 15 Tage. Die Frage lautet: nach wie vielen Tagen fallen alle drei wieder auf denselben Tag? Die Antwort ist das kgV von 4, 6 und 15.

Man rechnet das paarweise. Erst kgV(4, 6) = 12. Dann kgV(12, 15): der ggT von 12 und 15 ist 3, also ist kgV(12, 15) = (12 × 15) / 3 = 60. Damit ist kgV(4, 6, 15) = 60. Nach 60 Tagen treffen sich alle drei Zyklen wieder gleichzeitig.

Verhältnisse vereinfachen: ggT von drei Zahlen

Der ggT von mehreren Zahlen funktioniert genauso paarweise und ist praktisch, um ein Verhältnis oder ein Rezept auf die kleinstmöglichen ganzen Zahlen zu bringen. Für 36, 60 und 84 gilt: ggT(36, 60) = 12, und ggT(12, 84) = 12. Also ist ggT(36, 60, 84) = 12, und alle drei Zahlen lassen sich durch 12 teilen, ohne dass ein Rest übrig bleibt.

Primfaktorzerlegung als Alternative

Der euklidische Algorithmus ist für zwei Zahlen meist am schnellsten, aber die Primfaktorzerlegung liefert denselben Wert und funktioniert genauso gut für kgV-Berechnungen oder für mehr als zwei Zahlen auf einmal.

12 zerlegt sich in 2² × 3, und 18 zerlegt sich in 2 × 3². Für den ggT nimmt man von jedem gemeinsamen Primfaktor die niedrigste vorkommende Potenz: 2¹ × 3¹ = 6. Für das kgV nimmt man dagegen von jedem Primfaktor, der in mindestens einer der Zahlen vorkommt, die höchste Potenz: 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

Beide Werte stimmen mit dem Ergebnis aus dem euklidischen Algorithmus überein, ggT 6 und kgV 36, was diese Methode zu einer guten Gegenprobe macht, wenn man sich beim Rechnen unsicher ist.

Praxisbeispiel: Zahnräder

Zwei ineinandergreifende Zahnräder haben 48 beziehungsweise 18 Zähne. Der ggT von 48 und 18 ist 6, und damit lässt sich das Zahnverhältnis auf 48/6 zu 18/6, also 8:3, vereinfachen.

Interessant wird es bei der Frage, wann beide Zahnräder wieder gleichzeitig in ihrer Ausgangsstellung stehen. Dafür braucht man das kgV: kgV(48, 18) = 144. Das 48-Zähne-Rad muss dafür 144/48 = 3 volle Umdrehungen machen, das 18-Zähne-Rad dagegen 144/18 = 8 volle Umdrehungen. Erst nach diesen Umdrehungen treffen sich beide Räder wieder exakt an ihrer Startmarkierung.

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Häufige Fehler

• ggT und kgV verwechseln. Der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleineren Ausgangszahl, das kgV ist immer größer oder gleich der größeren Ausgangszahl. Wer beide vertauscht, kürzt Brüche falsch oder findet den falschen gemeinsamen Nenner.
• Die Formel ggT × kgV = a × b auf drei oder mehr Zahlen anwenden. Wie oben gezeigt gilt das nur für genau zwei Zahlen, bei drei Zahlen führt dieselbe Rechnung in die Irre.
• Vergessen, dass kgV mit 0 konventionsgemäß 0 ist. Da nichts ein gemeinsames Vielfaches von 0 und einer positiven Zahl sein kann, wird das kgV per Konvention auf 0 gesetzt, sobald einer der Werte 0 ist. Der ggT verhält sich anders, ggT(0, n) ist einfach n.
• Den kgV statt des ggT verwenden oder umgekehrt, wenn ein Bruch gekürzt werden soll. Zum Kürzen braucht man den ggT der Zähler- und Nennerzahl, nicht das kgV der Nenner, das nur beim Herstellen eines gemeinsamen Nenners hilft.

Häufig gestellte Fragen

Gilt ggT × kgV = a × b auch bei drei oder mehr Zahlen? Nein. Die Formel gilt ausschließlich für genau zwei Zahlen. Bei drei oder mehr Werten muss man ggT und kgV jeweils paarweise berechnen, wie im Abschnitt oben mit 4, 6, 15 sowie 36, 60, 84 gezeigt.

Wie finde ich den ggT zweier großer Zahlen am schnellsten von Hand? Der euklidische Algorithmus ist dafür fast immer der schnellste Weg, weil er ohne vollständige Primfaktorzerlegung auskommt und mit jeder Division schnell kleinere Zahlen erzeugt. Bei sehr großen Zahlen ist er deutlich effizienter, als alle Teiler einzeln aufzulisten.

Können ggT oder kgV null oder negativ sein? ggT und kgV sind für positive ganze Zahlen definiert. Ein Rechner arbeitet bei negativer Eingabe üblicherweise mit dem Betrag der Zahlen weiter. Die einzige Ausnahme betrifft die 0: ggT(0, n) ist n, während das kgV per Konvention 0 ist, sobald eine der Zahlen 0 ist.

Wie unterscheidet sich das von einfachem Auflisten der gemeinsamen Teiler oder Vielfachen? Bei kleinen Zahlen funktioniert das Auflisten durchaus, ist aber mühsam und wird bei größeren Zahlen schnell unübersichtlich. Der euklidische Algorithmus für den ggT und die Primfaktorzerlegung für das kgV liefern dasselbe Ergebnis, brauchen dafür aber deutlich weniger Schritte, gerade wenn die Zahlen mehrstellig werden.