Como Calcular o MDC e o MMC (Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum)
O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide dois ou mais valores sem deixar resto. O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de todos eles ao mesmo tempo. Pegue 12 e 18: o MDC é 6, porque 6 divide os dois e nenhum número maior faz isso; o MMC é 36, o menor valor que aparece nas duas tabuadas.
Onde isso aparece na prática
MDC e MMC não são só exercício de lousa. Você usa o MMC toda vez que soma frações com denominadores diferentes, porque precisa achar o menor denominador comum antes de somar os numeradores. Usa o MDC quando quer simplificar uma fração ao menor termo possível, ou reduzir uma proporção (uma receita, uma escala de mapa, uma razão entre engrenagens) aos menores números inteiros que ainda representam a mesma relação. E o MMC resolve um tipo específico de problema de agenda: quando duas ou mais coisas se repetem em ciclos diferentes, ele diz depois de quantas unidades de tempo elas voltam a coincidir.
O algoritmo de Euclides
Para achar o MDC de dois números a e b, com a maior que b, o algoritmo de Euclides segue três passos:
- Divida a por b e anote o resto r.
- Substitua a por b, e b por r.
- Repita até o resto chegar a zero. O último valor de b diferente de zero é o MDC.
Aplicando a 12 e 18:
| Dividendo | Divisor | Quociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 18 | 12 | 1 | 6 |
| 12 | 6 | 2 | 0 |
O resto chegou a zero na segunda linha, e o último divisor não-zero foi 6. Então MDC(12, 18) = 6.
A partir do MDC, o MMC de dois números sai direto de uma divisão: MMC(a, b) = (a × b) / MDC(a, b). Para 12 e 18, isso dá (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36.
Voltando à soma de frações: 1/12 + 1/18 precisa de um denominador comum, e o menor denominador comum é justamente o MMC(12, 18) = 36. Reescrevendo, 1/12 = 3/36 e 1/18 = 2/36, e a soma fica 3/36 + 2/36 = 5/36. Já o MDC (6) é o número que você usaria para simplificar uma fração como 12/18: dividindo o numerador e o denominador por 6, ela vira 2/3.
A identidade MDC × MMC = a × b
Para exatamente dois números, existe uma relação direta entre os quatro valores: MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b. Com 12 e 18, isso confere: 6 × 36 = 216, e 12 × 18 também dá 216.
Essa identidade é útil como atalho e como conferência de contas, mas só funciona para dois números por vez. É um erro comum estender ela para três ou mais valores: MDC(a, b, c) × MMC(a, b, c) não é igual a a × b × c em geral, e não existe uma fórmula tão simples assim quando entram três ou mais termos na jogada.
Trabalhando com três números
Quando o problema envolve três valores ou mais, o jeito é aplicar o MDC ou o MMC dois a dois, em cadeia, até sobrar um único resultado.
Agenda com três ciclos. Imagine três tarefas que se repetem a cada 4, 6 e 15 dias. Quando as três voltam a coincidir no mesmo dia? Primeiro acha-se MMC(4, 6) = 12. Depois combina-se esse resultado com o terceiro número: MDC(12, 15) = 3, então MMC(12, 15) = (12 × 15) / 3 = 180 / 3 = 60. Ou seja, as três tarefas caem no mesmo dia a cada 60 dias.
Simplificando uma proporção com três valores. Agora um caso de MDC: os números 36, 60 e 84 precisam ser reduzidos à menor proporção inteira possível, útil para escalar uma receita ou simplificar uma razão. MDC(36, 60) = 12, e MDC(12, 84) = 12, então MDC(36, 60, 84) = 12. Dividindo os três valores por 12, a proporção simplificada fica 3 : 5 : 7.
Fatoração em primos como alternativa
O algoritmo de Euclides é rápido para dois números, mas quando o número de valores cresce, ou quando o objetivo é o MMC, decompor cada valor em fatores primos costuma deixar tudo mais visual.
Fatorando 12 e 18:
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
Para o MDC, pega-se a menor potência de cada fator primo que aparece nos dois números: 2¹ × 3¹ = 6. Para o MMC, pega-se a maior potência de todo fator primo que aparece em qualquer um dos números: 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Os dois resultados batem exatamente com o que o algoritmo de Euclides deu antes, o que serve como uma boa conferência cruzada quando você calcula na mão.
Exemplo real: engrenagens
Um par de engrenagens engrenadas, uma com 48 dentes e outra com 18 dentes, mostra o MDC e o MMC funcionando juntos num problema físico.
O MDC(48, 18) = 6 simplifica a razão de dentes: dividindo os dois valores por 6, 48:18 vira 8:3. É a proporção mais simples que ainda descreve a mesma engrenagem.
Já o MMC(48, 18) = 144 responde a outra pergunta: depois de quantas voltas as duas engrenagens voltam a ficar alinhadas exatamente como no início? A engrenagem de 48 dentes completa 144 / 48 = 3 voltas inteiras, e a de 18 dentes completa 144 / 18 = 8 voltas inteiras, e é só nesse ponto que as duas retornam à posição inicial ao mesmo tempo.
Calcule com seus próprios números
Separe os valores por vírgulas, espaços ou quebras de linha. Decimais são ignorados.
Digite ao menos dois números inteiros para ver o MDC e o MMC.
- Números
- —
- Coprimos
- —
Fatoração em primos
Algoritmo de Euclides
Erros comuns
- Trocar MDC por MMC. O MDC é sempre menor ou igual aos números originais, e o MMC é sempre maior ou igual a eles. Se o resultado que você achou for maior que os números de entrada mas você queria o MDC, algo saiu errado na conta.
- Achar que a identidade MDC × MMC = a × b vale para três ou mais números. Como visto acima, ela só é válida para exatamente dois valores. Com três ou mais, é preciso combinar os números dois a dois.
- Esquecer o caso do zero. Por convenção, o MMC de qualquer número com 0 é 0, já que não existe múltiplo comum positivo entre 0 e um número positivo. Já o MDC(0, n) é igual a n.
- Usar o MMC quando precisava do MDC, ou o contrário. Isso é comum ao simplificar frações: o denominador comum de uma soma vem do MMC dos denominadores, mas reduzir uma fração já existente ao menor termo usa o MDC entre numerador e denominador. Confundir os dois é o erro mais frequente nessa área.
Perguntas frequentes
A identidade MDC × MMC = a × b vale para três números ou mais? Não. Ela só é válida para exatamente dois números. Para três ou mais valores, o MDC(a, b, c) × MMC(a, b, c) geralmente não bate com a × b × c, como mostrado na seção sobre a identidade acima. O caminho correto com três ou mais números é aplicar o MDC ou o MMC em pares, encadeando os resultados.
Qual a forma mais rápida de achar o MDC de dois números grandes à mão? O algoritmo de Euclides. Listar todos os divisores de cada número e comparar funciona para valores pequenos, mas fica inviável rápido conforme os números crescem. O algoritmo de Euclides resolve em poucas divisões sucessivas, mesmo com números de vários dígitos, porque a cada passo o problema encolhe para o resto da divisão anterior.
MDC ou MMC podem ser zero ou negativos? MDC e MMC são definidos para números inteiros positivos. Uma calculadora costuma usar o valor absoluto de entradas negativas antes de calcular. Quanto ao zero, por convenção o MMC de qualquer número com 0 é 0, e o MDC(0, n) é igual a n, um detalhe fácil de esquecer na hora de programar ou de resolver um exercício.
Qual a diferença entre isso e simplesmente listar os fatores e múltiplos comuns? Listar funciona para números pequenos: dá para escrever os divisores de 12 e de 18 e ver na mão que o maior em comum é 6. O problema é que esse método não escala. Com números de três ou quatro dígitos, listar todos os múltiplos ou divisores fica lento e sujeito a erro. A fatoração em primos e, principalmente, o algoritmo de Euclides chegam ao mesmo resultado com muito menos trabalho, e é por isso que são os métodos preferidos quando os números crescem.