Slik Finner du SFF og MFM (Største Felles Faktor og Minste Felles Multiplum)

SFF, største felles faktor, er det største tallet som deler to eller flere heltall uten rest. MFM, minste felles multiplum, er det minste tallet som alle de samme heltallene går jevnt opp i. De to henger tett sammen og dukker opp overalt der du skal forkorte en brøk, finne en fellesnevner eller regne ut når to gjentakende hendelser treffer samme dag igjen.

Hvorfor dette dukker opp så ofte

Brøkregning er det klareste eksempelet: skal du addere 1/12 og 1/18, må du finne en fellesnevner, og den minste mulige fellesnevneren er nettopp MFM(12, 18). SFF gjør motsatt jobb, den forkorter en brøk som 12/18 ned til 2/3 ved å dele teller og nevner på den største fellesfaktoren. Utenfor brøkregning møter du de samme to størrelsene i timeplanlegging (når faller to gjentakende hendelser sammen igjen), i girforhold og tannhjulsutveksling, og i alt som handler om å skalere en oppskrift eller et forhold ned til de minste hele tallene.

Euklids algoritme

Den raskeste måten å finne SFF på for to tall, uten å liste opp alle faktorene, er Euklids algoritme. Fremgangsmåten for to tall a og b, der a er størst:

1. Del a på b og noter resten r.
2. Sett a lik b, og sett b lik r.
3. Gjenta til r blir 0. Den siste verdien av b som ikke var null, er SFF.

Se det i praksis med 12 og 18. Siden 18 er størst, starter vi med a = 18 og b = 12:

Dividend	Divisor	Kvotient	Rest
18	12	1	6
12	6	2	0

Første linje sier at 18 = 1×12 + 6. Andre linje sier at 12 = 2×6 + 0, og siden resten nå er 0, stopper vi der. Den siste divisoren, 6, er SFF(12, 18).

Når du har SFF, kommer MFM nesten gratis. For to tall gjelder MFM(a, b) = (a×b) / SFF(a, b), så MFM(12, 18) = (12×18) / 6 = 216 / 6 = 36.

Identiteten SFF × MFM = a × b, og hvorfor den ikke skalerer

For nøyaktig to tall gjelder alltid at SFF(a, b) × MFM(a, b) er lik a × b. Med 12 og 18 stemmer det til punkt og prikke: 6 × 36 = 216, og 12 × 18 = 216. Samme tall begge veier, en fin kontroll på at utregningen er riktig.

Fallgruven er å tro at identiteten fortsetter å gjelde når du legger til et tredje tall. Det gjør den ikke. SFF(a, b, c) × MFM(a, b, c) er generelt IKKE lik a × b × c så snart du har tre eller flere tall med i regnestykket. Identiteten er en toparts-greie, og det er en av de vanligste feilene folk gjør når de først har lært den for to tall og antar at den generaliserer av seg selv.

Tre tall om gangen

MFM med tre tall: når treffer alle tre sammen igjen?

Si at du har tre oppgaver som gjentar seg med henholdsvis 4, 6 og 15 dagers mellomrom. Når faller alle tre sammen igjen? Svaret er MFM(4, 6, 15), og du finner det ved å ta MFM to og to. Først MFM(4, 6) = 12. Deretter MFM(12, 15): SFF(12, 15) = 3, så MFM(12, 15) = (12×15) / 3 = 180 / 3 = 60. Alle tre oppgavene faller altså sammen igjen etter 60 dager.

SFF med tre tall: forkorte et forhold

Nå snur vi det om: du har tallene 36, 60 og 84, og vil finne den minste heltallsproporsjonen mellom dem, kanskje for å skalere ned en oppskrift eller forenkle et forhold. Ta SFF to og to igjen. Først SFF(36, 60) = 12. Deretter SFF(12, 84) = 12, siden 12 allerede går opp i 84. Dermed er SFF(36, 60, 84) = 12, og forholdet 36:60:84 kan skrives om til 3:5:7.

Primtallsfaktorisering som alternativ metode

For flere tall enn to, eller ganske enkelt som en kontroll på Euklids algoritme, kan du bruke primtallsfaktorisering i stedet. Skriv hvert tall som et produkt av primtall: 12 = 2² × 3, og 18 = 2 × 3².

For SFF tar du den LAVESTE potensen av hver primfaktor som finnes i begge tallene: 2¹ × 3¹ = 6. For MFM tar du i stedet den HØYESTE potensen av hver primfaktor som finnes i minst ett av tallene: 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Begge svarene stemmer med det Euklids algoritme ga oss lenger opp, SFF 6 og MFM 36, som er en fin sjekk på at man har regnet riktig uansett hvilken metode man foretrekker.

Girforhold i praksis

Et konkret eksempel fra maskinteknikk: to tannhjul griper inn i hverandre, ett med 48 tenner og ett med 18 tenner. SFF(48, 18) = 6, så tannforholdet kan forenkles fra 48:18 til (48/6):(18/6), altså 8:3. Det store hjulet har 8 tenner for hver 3 tenner på det lille, forenklet så langt det går.

MFM(48, 18) = 144 forteller noe annet: hvor mange tenner må passere før begge hjulene igjen står i akkurat samme startposisjon samtidig. Det store hjulet med 48 tenner trenger 144 / 48 = 3 hele rotasjoner, og det lille hjulet med 18 tenner trenger 144 / 18 = 8 hele rotasjoner, før de to hjulene på nytt er tilbake i utgangsstillingen på samme tid.

Regn ut med dine egne tall

SFF- og MFM-Kalkulator

Gratis, ingen registrering, fungerer på alle enheter.

Åpne hele verktøyet

Vanlige feil

• Å blande sammen SFF og MFM. SFF er alltid det minste av de to svarene (eller likt), og MFM er alltid det største, siden SFF deler tallene mens MFM er noe tallene deler. Forveksler du dem, ender du fort med en brøk som ikke er forkortet i det hele tatt, eller en fellesnevner som er altfor liten.
• Å anta at SFF × MFM = a × b gjelder for tre eller flere tall. Som vist over holder identiteten kun for nøyaktig to tall. Med tre eller flere må du regne SFF og MFM to og to, slik eksemplene med 4, 6, 15 og med 36, 60, 84 gjorde.
• Å glemme at MFM med 0 alltid blir 0, som en konvensjon. Ingenting er et felles multiplum av 0 og et positivt tall, så MFM(0, n) = 0 uansett hva n er. SFF(0, n) er derimot n selv, ikke 0.
• Å bruke MFM der man egentlig trengte SFF, eller omvendt. Skal du finne en fellesnevner for å addere brøker, er det MFM (fellesnevneren kalles gjerne MFN, minste felles nevner) du trenger. Skal du forkorte en brøk til enklest mulig form etterpå, er det SFF du deler med. Det er lett å blande de to sammen midt i en regnestykke.

Ofte stilte spørsmål

Gjelder SFF × MFM = a × b for tre eller flere tall? Nei. Identiteten holder kun for nøyaktig to tall, slik seksjonen lenger opp viser med 6 × 36 = 12 × 18 = 216. Med tre eller flere tall må du regne SFF eller MFM parvis, ett tallpar av gangen, slik som i eksemplene med 4, 6, 15 og med 36, 60, 84.

Hva er den raskeste måten å finne SFF for to store tall for hånd? Euklids algoritme. I stedet for å liste opp alle faktorene til begge tallene og lete etter den største felles, deler du bare gjentatte ganger og ser på resten, slik tabellen med 18 og 12 viser. Metoden krever bare noen få divisjoner uansett hvor store tallene er, og er langt raskere enn faktorlisting så snart tallene passerer noen titalls.

Kan SFF eller MFM være null eller negative? SFF og MFM er definert for positive heltall, og en kalkulator vil normalt bruke absoluttverdien hvis du skriver inn et negativt tall. Nulltilfellet er unntaket verdt å huske: SFF(0, n) = n, mens MFM(0, n) = 0 per konvensjon, siden ingen positive tall er et felles multiplum av 0 og noe annet.

Er dette bare det samme som å liste opp felles faktorer eller multipler for hånd? Å liste opp fungerer for små tall, men skalerer dårlig. Skal du finne SFF(84, 126), blir listen over faktorer fort lang, og det er lett å overse den største. Euklids algoritme eller primtallsfaktorisering gir deg svaret på et par steg uansett hvor store tallene er, og er derfor metoden verdt å lære i stedet for å pugge lister.