Hitta SGD och MGN för Två eller Fler Tal

Största gemensamma delaren (SGD) är det största talet som går jämnt upp i alla dina tal utan rest. Minsta gemensamma multipeln (MGN) är det minsta talet som alla dina tal går jämnt upp i. De löser motsatta problem, SGD krymper ett bråk eller ett förhållande till sin enklaste form, MGN hittar den minsta gemensamma nämnaren eller den punkt där två upprepande mönster äntligen möts igen.

Det här dyker upp oftare än man tror. När du adderar 1/12 och 1/18 behöver du en gemensam nämnare, och den minsta möjliga är MGN av 12 och 18. När du förenklar bråket 12/18 till 2/3 delar du täljare och nämnare med SGD. Tandhjul och remskivor som roterar i olika takt hamnar i sin ursprungsposition igen efter ett antal varv som styrs av MGN, och recept eller blandningar som ska skalas ner till minsta möjliga heltalsförhållande styrs av SGD. Samma två begrepp, helt olika användningsområden.

Euklides algoritm steg för steg

Det snabbaste sättet att hitta SGD för två tal a och b (där a är störst) för hand är Euklides algoritm:

1. Dividera a med b och notera resten r.
2. Ersätt a med b, och ersätt b med r.
3. Upprepa tills r blir 0. Det sista värdet på b som inte var noll är SGD.

Ta 12 och 18 som exempel. Eftersom 18 är störst börjar vi med a = 18 och b = 12.

Täljare (a)	Nämnare (b)	Kvot	Rest
18	12	1	6
12	6	2	0

Andra raden ger rest 0, så SGD(12, 18) = 6, det sista värdet på b innan resten blev noll. Med SGD i hand blir MGN enkelt: MGN(a, b) = (a × b) / SGD(a, b). Här ger det (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Så MGN(12, 18) = 36.

Kopplat till bråkexemplet ovan: MGN(12, 18) = 36 är precis den nämnare du behöver för 1/12 + 1/18. Gör om båda bråken: 1/12 = 3/36 och 1/18 = 2/36, så summan blir 3/36 + 2/36 = 5/36.

Sambandet SGD × MGN = a × b, och var det slutar gälla

För exakt två tal gäller ett bekvämt samband: SGD(a, b) × MGN(a, b) = a × b. Kontrollera med våra tal: 6 × 36 = 216, och 12 × 18 = 216. Det stämmer.

Det här sambandet är bekvämt att räkna baklänges med, till exempel för att hitta MGN direkt från SGD utan att lista multipler. Men det gäller bara för exakt två tal, och det är ett vanligt misstag att anta att samma formel fungerar för tre eller fler. SGD(a, b, c) × MGN(a, b, c) är i allmänhet inte lika med a × b × c så fort du lägger till ett tredje tal. Formeln bygger på hur exakt två tals primfaktorer fördelar sig mellan de två positionerna, och den fördelningen gäller inte längre när ett tredje tal blandas in.

Tre tal på en gång: schemaläggning och förenkling

MGN med tre tal: när sammanfaller uppgifterna igen?

Säg att du har tre återkommande uppgifter, en som upprepas var 4:e dag, en var 6:e dag och en var 15:e dag. Nästa gång alla tre inträffar samma dag är på MGN(4, 6, 15).

Räkna i två steg. Först MGN(4, 6) = 12 (multiplerna av 4 är 4, 8, 12…, multiplerna av 6 är 6, 12…, och 12 är den första gemensamma). Sedan MGN(12, 15): SGD(12, 15) = 3, så MGN = (12 × 15) / 3 = 180 / 3 = 60. Alla tre uppgifterna sammanfaller alltså igen först efter 60 dagar.

SGD med tre tal: krympa ett förhållande

Anta att du har talen 36, 60 och 84 och vill hitta det största talet som delar alla tre, kanske för att skala ner ett recept eller förenkla ett förhållande till minsta möjliga heltal. Samma parvisa metod fungerar. SGD(36, 60) = 12, och sedan SGD(12, 84) = 12. Så SGD(36, 60, 84) = 12, det tal du delar alla tre med för att få den enklaste heltalsproportionen.

Primfaktorisering som alternativ metod

Euklides algoritm är snabbast för hand, men primfaktorisering ger samma svar och är extra användbar när du vill räkna ut MGN direkt, eller när du jobbar med fler än två tal samtidigt.

Bryt ner 12 och 18 i sina primfaktorer: 12 = 2² × 3, och 18 = 2 × 3².

För SGD tar du den lägsta potensen av varje primfaktor som finns i båda talen: 2¹ × 3¹ = 6. För MGN tar du den högsta potensen av varje primfaktor som förekommer i något av talen: 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

Samma resultat som Euklides algoritm gav, SGD 6 och MGN 36, vilket är en bra konsistenskontroll om du är osäker på en manuell uträkning.

Ett verkligt exempel: kugghjul som möts igen

Föreställ dig två kugghjul som griper i varandra, det ena med 48 kuggar och det andra med 18 kuggar. Två frågor är intressanta här: hur förenklas kuggförhållandet, och efter hur många varv hamnar båda hjulen i exakt samma startposition samtidigt?

SGD(48, 18) = 6, så kuggförhållandet 48:18 förenklas till 48/6 : 18/6, det vill säga 8:3.

MGN(48, 18) = 144. Det 48-kuggade hjulet behöver 144 / 48 = 3 hela varv, och det 18-kuggade hjulet behöver 144 / 18 = 8 hela varv, innan båda hjulen samtidigt är tillbaka i sin ursprungliga vridningsposition.

Räkna med dina egna tal

SGD- och MGN-Kalkylator

Gratis, ingen registrering, fungerar på alla enheter.

Öppna hela verktyget

Vanliga misstag

• Att blanda ihop SGD och MGN. SGD är alltid mindre än eller lika med det minsta av dina tal, MGN är alltid större än eller lika med det största. Om ditt svar bryter mot det har du troligen räknat ut fel begrepp.
• Att anta att SGD × MGN = a × b gäller för tre eller fler tal. Som visat ovan gäller det bara för exakt två tal. Räkna alltid ut MGN eller SGD för tre eller fler tal parvis, steg för steg.
• Att glömma att MGN blir 0 om något tal är 0. Ingenting är en gemensam multipel av 0 och ett positivt tal, så MGN(0, n) sätts konventionellt till 0. SGD(0, n) däremot är helt enkelt n, eftersom n går jämnt upp i sig självt och i 0.
• Att använda MGN när du egentligen behövde SGD, eller tvärtom. När du förenklar ett bråk letar du efter SGD för täljare och nämnare. När du hittar en gemensam nämnare för addition eller subtraktion letar du efter MGN. Att blanda ihop dem ger antingen ett bråk som inte är i enklaste form eller ett onödigt stort mellansteg.

Vanliga frågor

Gäller SGD × MGN = a × b för tre eller fler tal? Nej. Sambandet håller exakt för två tal, som i exemplet med 12 och 18 där 6 × 36 = 12 × 18 = 216. Så fort ett tredje tal läggs till slutar formeln att stämma, och det säkraste sättet är att räkna SGD eller MGN parvis i flera steg, som visas i avsnittet om tre tal ovan.

Vad är det snabbaste sättet att hitta SGD för två stora tal för hand? Euklides algoritm. Att lista alla delare till stora tal och jämföra listorna går fort ur kontroll, medan Euklides algoritm bara kräver några få divisioner med rest oavsett hur stora talen är. För 12 och 18 räckte det med två steg för att landa på SGD 6.

Kan SGD eller MGN bli noll eller negativa? SGD och MGN definieras för positiva heltal, och en kalkylator hanterar vanligtvis negativa inmatningar genom att räkna med absolutbeloppet. Specialfallet är noll: MGN(0, n) sätts konventionellt till 0 eftersom inget tal är en gemensam multipel av 0 och ett positivt tal, medan SGD(0, n) helt enkelt är n.

Hur skiljer sig detta från att bara lista gemensamma delare eller multipler? Att lista fungerar fint för små tal, multiplerna av 4 och 6 är lätta att räkna upp för hand tills du hittar 12. Men metoden skalar dåligt. För tvåsiffriga eller större tal blir listorna långa och lätta att räkna fel på, medan Euklides algoritm eller primfaktorisering ger samma svar på ett par rader oavsett hur stora talen är.