Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, brauchst du zuerst einen gemeinsamen Nenner, am besten das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner. Dann schreibst du beide Brüche mit diesem Nenner um und addierst oder subtrahierst nur noch die Zähler. Der Nenner selbst bleibt dabei unverändert.
Das Problem taucht ständig auf, beim Verdoppeln eines Rezepts, beim Zusammenrechnen von Maßen in der Werkstatt, oder ganz klassisch bei den Hausaufgaben. Sobald zwei Brüche unterschiedliche Nenner haben, ist die eigentliche Rechnung immer dieselbe, nur die Zahlen ändern sich.
Die Methode in vier Schritten
- Das kgV der beiden Nenner finden. Das ist die kleinste Zahl, durch die beide Nenner ohne Rest teilbar sind.
- Jeden Bruch in einen gleichwertigen Bruch mit diesem Nenner umwandeln. Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit demselben Faktor.
- Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner beibehalten. Sobald beide Brüche denselben Nenner haben, ist das die einzige Rechnung, die noch fehlt.
- Ergebnis kürzen. Teile Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT), damit der Bruch in seiner einfachsten Form steht.
Der einzige Schritt, an dem die meisten Fehler passieren, ist der erste. Ohne gemeinsamen Nenner darfst du die Zähler nicht anfassen, egal wie verlockend es aussieht.
So findest du das kgV
Bei kleinen Nennern reicht es, die Vielfachen beider Zahlen aufzulisten, bis eines übereinstimmt. Für 4 und 6: Vielfache von 4 sind 4, 8, 12, 16, Vielfache von 6 sind 6, 12, 18, 24. Die erste Zahl, die in beiden Listen auftaucht, ist 12, also ist das das kgV.
Bei größeren Nennern lohnt sich die Primfaktorzerlegung mehr. Zerlege beide Nenner in ihre Primfaktoren, nimm jeden Primfaktor mit seiner höchsten vorkommenden Potenz und multipliziere alles zusammen. Für 12 (= 2² × 3) und 18 (= 2 × 3²) ergibt das 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Bei zwei- oder dreistelligen Nennern ist diese Methode meist schneller, als lange Vielfachenlisten durchzugehen.
Beispiel 1: 1/4 + 1/6
Die Nenner sind 4 und 6. Ihr kgV ist 12, denn 12 ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist.
- 1/4 wird zu 3/12 (Zähler und Nenner mit 3 multipliziert)
- 1/6 wird zu 2/12 (Zähler und Nenner mit 2 multipliziert)
Jetzt haben beide Brüche denselben Nenner, also einfach die Zähler addieren:
3/12 + 2/12 = 5/125/12 lässt sich nicht weiter kürzen, denn 5 und 12 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Das Ergebnis steht also schon in seiner einfachsten Form da.
Beispiel 2: 2 1/3 − 1 3/4 (mit gemischten Zahlen)
Hier kommen gemischte Zahlen ins Spiel, und genau da lohnt sich ein zusätzlicher Schritt am Anfang: beide Zahlen zuerst in unechte Brüche umwandeln, bevor überhaupt an den Nenner gedacht wird.
- 2 1/3 = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3
- 1 3/4 = (1 × 4 + 3) / 4 = 7/4
Jetzt ist es wieder eine ganz normale Subtraktion von zwei Brüchen. Die Nenner sind 3 und 4, ihr kgV ist 12.
- 7/3 wird zu 28/12 (mit 4 multipliziert)
- 7/4 wird zu 21/12 (mit 3 multipliziert)
28/12 − 21/12 = 7/12Das Ergebnis ist 7/12. Zur Kontrolle als Dezimalzahl: 2 1/3 ≈ 2,3333 und 1 3/4 = 1,75, und 2,3333 − 1,75 ≈ 0,5833, was genau 7/12 entspricht.
Warum lohnt sich die Umwandlung in unechte Brüche zuerst? Wenn man stattdessen versucht, direkt mit den ganzen Zahlen und den Bruchteilen getrennt zu rechnen, muss man bei 2 1/3 − 1 3/4 vom ganzzahligen Teil “ausleihen”, weil 1/3 kleiner ist als 3/4 und die Subtraktion sonst einen negativen Bruchteil ergeben würde. Das ist genau derselbe Mechanismus wie das Ausleihen bei der schriftlichen Subtraktion mit Zehnerübertrag, nur eben mit Brüchen statt mit Stellenwerten. Wandelt man vorher in unechte Brüche um, entfällt dieser zusätzliche Gedankenschritt komplett, man rechnet einfach zwei normale Brüche gegeneinander.
Häufige kgV-Kombinationen
Diese Tabelle deckt die Nennerpaare ab, die am häufigsten in Hausaufgaben, Rezepten und Werkstattmaßen vorkommen. Wer sie im Kopf hat, spart sich bei den meisten Alltagsbrüchen das Suchen.
| Nenner | kgV |
|---|---|
| 2 und 3 | 6 |
| 3 und 4 | 12 |
| 4 und 6 | 12 |
| 5 und 10 | 10 |
| 6 und 9 | 18 |
| 8 und 12 | 24 |
Ein Muster fällt dabei auf: Wenn ein Nenner ein Vielfaches des anderen ist (wie 5 und 10, oder 4 und 6 wo 12 selbst ein Vielfaches von beiden ist), ist das kgV oft kleiner als das schlichte Produkt beider Zahlen. Bei 5 und 10 wäre das Produkt 50, das kgV ist aber nur 10. Genau das macht den Unterschied zwischen einem sauberen und einem unnötig großen Zwischenschritt aus.
Der praktische Nutzen davon zeigt sich vor allem beim Rechnen mit Kopf oder Stift: Kleinere Zahlen bedeuten weniger Möglichkeiten, sich beim Multiplizieren oder Kürzen zu vertun. Wer bei 5 und 10 mit 50 statt mit 10 weiterrechnet, landet zwar am Ende beim richtigen Ergebnis, muss aber einen zusätzlichen Kürzungsschritt einbauen und riskiert dabei eine weitere Fehlerquelle.
Addiere oder subtrahiere deine eigenen Brüche
Trag deine eigenen Zahlen ein und lass dir das Ergebnis als gekürzten Bruch, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl anzeigen.
Häufige Fehler
- Die Nenner direkt addieren oder subtrahieren. 1/2 + 1/3 ist NICHT 2/5. Der Nenner beschreibt, in wie viele Teile das Ganze zerlegt ist, und diese Größe verändert sich nicht durch Addition. Richtig gerechnet ergibt 1/2 + 1/3 einen gemeinsamen Nenner von 6: 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Gemischte Zahlen nicht vor dem Rechnen in unechte Brüche umwandeln. Ohne diesen Schritt ist unklar, wie mit dem “Ausleihen” zwischen ganzer Zahl und Bruchteil umzugehen ist, vor allem bei einer Subtraktion wie im zweiten Beispiel oben.
- Vergessen, das Endergebnis zu kürzen. Ein Ergebnis wie 6/8 ist rechnerisch richtig, aber nicht vollständig, solange es nicht auf 3/4 gekürzt ist.
- Das Produkt der beiden Nenner als Abkürzung nehmen, statt das kgV zu suchen. Das funktioniert immer, denn das Produkt zweier Zahlen ist immer ein gemeinsames Vielfaches, ist aber selten das kleinste. Bei 4 und 6 liefert das Produkt 24 statt der 12 aus der Tabelle, und am Ende bleibt mehr zu kürzen als nötig.
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn beide Brüche schon denselben Nenner haben? Dann fällt der ganze Schritt mit dem kgV weg. Einfach die Zähler addieren oder subtrahieren und den Nenner beibehalten, zum Beispiel 3/8 + 2/8 = 5/8.
Muss ich gemischte Zahlen vor dem Subtrahieren umwandeln? Ja, das ist besonders bei der Subtraktion wichtig, wenn der Bruchteil der zweiten Zahl größer ist als der der ersten. Rechnet man mit den ganzzahligen und den Bruchteilen getrennt weiter, bekommt man sonst einen negativen Bruchteil und muss zusätzlich vom ganzzahligen Teil ausleihen.
Gibt es eine schnellere Methode als das kgV zu suchen? Ja, die Kreuzmultiplikation: a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd. Sie funktioniert immer und ist schneller im Kopf, aber der Nenner bd ist nicht immer der kleinste mögliche, sodass am Ende oft noch etwas zu kürzen bleibt.
Wie wandle ich mein Ergebnis in eine Dezimalzahl um? Teile den Zähler durch den Nenner. 5/12 wird so zu 0,41666…, also einer periodischen Dezimalzahl.