Så Adderar och Subtraherar du Bråk med Olika Nämnare
För att addera eller subtrahera bråk med olika nämnare hittar du först en gemensam nämnare, helst den minsta gemensamma nämnaren (MGN). Sedan skriver du om båda bråken med den nämnaren och adderar eller subtraherar bara täljarna. Nämnaren rör du aldrig i själva uträkningen, den ligger fast så fort båda bråken delar den.
Anledningen till att nämnaren måste stämma överens handlar om vad ett bråk faktiskt beskriver. Nämnaren berättar hur stora bitarna är, och täljaren räknar hur många bitar du har. 1/4 och 1/6 beskriver olika stora bitar (fjärdedelar respektive sjättedelar), så det går inte att lägga ihop täljarna direkt, det vore som att lägga ihop antal äpplen med antal apelsiner och kalla svaret “frukt utan enhet”. Så fort båda bråken uttrycks i samma bitstorlek, till exempel tolftedelar, blir additionen bara en fråga om hur många bitar du har totalt.
Metoden steg för steg
- Hitta MGN för de två nämnarna. Det är det minsta tal som båda nämnarna går jämnt upp i.
- Gör om varje bråk till ett likvärdigt bråk med den nämnaren. Multiplicera täljare och nämnare med samma tal så att bråkets värde inte ändras.
- Addera eller subtrahera täljarna, och behåll nämnaren. Så fort nämnarna är lika är det bara täljarna som räknas ihop.
- Förkorta resultatet. Dela täljare och nämnare med deras största gemensamma delare tills bråket inte går att förenkla mer.
Fyra steg, samma ordning varje gång, oavsett om det handlar om addition eller subtraktion.
Det finns två vanliga sätt att hitta MGN för hand. Det första är att lista multiplerna av båda nämnarna tills du hittar den första de har gemensamt: multiplerna av 4 är 4, 8, 12, 16…, multiplerna av 6 är 6, 12, 18…, och 12 är den första som finns i båda listorna. Det andra sättet, som går snabbare med stora tal, är primfaktorisering: 4 = 2 × 2 och 6 = 2 × 3, så MGN blir varje primfaktor upphöjt till det högsta antal gånger den förekommer i någon av talen, det vill säga 2 × 2 × 3 = 12. Med små nämnare räcker listmetoden gott, primfaktorisering lönar sig först när talen blir tvåsiffriga eller större.
Exempel 1: addition med olika nämnare
Räkna ut 1/4 + 1/6.
MGN för 4 och 6 är 12: 4 går upp i 12 tre gånger, 6 går upp i 12 två gånger, och inget mindre tal fungerar för båda. Gör sedan om bråken till tolftedelar:
- 1/4 = 3/12 (multiplicera täljare och nämnare med 3)
- 1/6 = 2/12 (multiplicera täljare och nämnare med 2)
Addera täljarna och behåll nämnaren: 3/12 + 2/12 = 5/12. Största gemensamma delaren för 5 och 12 är 1, så bråket är redan i enklaste form. Svaret är 5/12.
Exempel 2: subtraktion med blandade tal
Räkna ut 2 1/3 − 1 3/4. Här har vi blandade tal, och tricket är att göra om dem till oäkta bråk innan man rör nämnarna alls. Multiplicera heltalet med nämnaren och lägg till täljaren:
- 2 1/3 = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3
- 1 3/4 = (1 × 4 + 3) / 4 = 7/4
MGN för 3 och 4 är 12. Gör om båda till tolftedelar:
- 7/3 = 28/12 (multiplicera med 4)
- 7/4 = 21/12 (multiplicera med 3)
Subtrahera täljarna: 28/12 − 21/12 = 7/12. Största gemensamma delaren för 7 och 12 är 1, så svaret stannar där.
Som snabb kontroll i decimalform: 2 1/3 är ungefär 2,3333 och 1 3/4 är 1,75. Skillnaden blir 0,58333…, vilket stämmer exakt med 7/12 = 0,58333…
Varför göra om till oäkta bråk först i stället för att subtrahera heltalen och bråkdelarna var för sig? Eftersom 1/3 är mindre än 3/4 hade den direkta metoden gett en negativ bråkdel mitt i uträkningen, och du hade behövt “låna” en hel enhet från 2:an, precis som när man lånar vid subtraktion med tal i kolumn. Att göra om till oäkta bråk från början slipper det steget helt: du har bara ett tal att subtrahera från ett annat, ingen risk att glömma låningen.
Vanliga nämnarpar och deras MGN
Den här tabellen sparar dig från att räkna ut MGN för nämnare som dyker upp om och om igen.
| Nämnare | MGN |
|---|---|
| 2 och 3 | 6 |
| 3 och 4 | 12 |
| 4 och 6 | 12 |
| 5 och 10 | 10 |
| 6 och 9 | 18 |
| 8 och 12 | 24 |
Lägg märke till att MGN inte alltid är produkten av de två nämnarna. 4 och 6 ger produkten 24, men MGN är bara 12, eftersom 12 redan är delbart med båda. Att alltid ta produkten fungerar som genväg, men ger ofta ett större tal att jobba med och mer att förkorta i slutet. Ett mönster värt att lägga märke till: när den ena nämnaren redan är en multipel av den andra, som 5 och 10 eller 8 och 24, är MGN alltid den större av de två, eftersom den mindre nämnaren redan går jämnt upp i den.
Addera eller subtrahera dina egna bråk
Vanliga misstag
- Att addera eller subtrahera nämnarna direkt. 1/2 + 1/3 är inte 2/5. Bråk fungerar inte som vanliga bråkstreck du bara staplar ihop, nämnarna måste vara lika först. Rätt svar är 5/6 (MGN är 6, så 1/2 = 3/6 och 1/3 = 2/6, och 3/6 + 2/6 = 5/6).
- Att glömma göra om blandade tal till oäkta bråk innan man räknar. Utan det steget är det lätt att blanda ihop heltalsdelen med bråkdelen, särskilt vid subtraktion där man kan behöva låna.
- Att glömma förkorta slutresultatet. Ett svar som 6/12 är matematiskt rätt men inte i enklaste form. Dela alltid täljare och nämnare med deras största gemensamma delare på slutet, i det här fallet 6, så att svaret blir 1/2.
- Att alltid använda produkten av de två nämnarna som genväg. Det fungerar, men ger inte alltid den minsta gemensamma nämnaren, som exemplet med 4 och 6 ovan visar. Resultatet blir korrekt men onödigt stort, och du får mer att förkorta i sista steget.
Vanliga frågor
Vad händer om de två bråken redan har samma nämnare? Då hoppar du över hela MGN-steget. Addera eller subtrahera bara täljarna och behåll nämnaren, till exempel 3/8 + 2/8 = 5/8.
Måste jag göra om blandade tal innan jag subtraherar? Ja, särskilt om bråkdelen i det tal du subtraherar är större än bråkdelen i det första talet. Utan det steget hamnar du med en negativ bråkdel mitt i uträkningen och måste låna en enhet från heltalet, vilket är lätt att göra fel. Att göra om till oäkta bråk från början undviker det helt.
Finns det en snabbare metod än att hitta minsta gemensamma nämnaren? Ja, korsmultiplikation: a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd. Den är snabbare att skriva ner eftersom du slipper hitta MGN, men nämnaren bd är inte alltid den minsta möjliga, så resultatet kan behöva förkortas mer i sista steget.
Hur gör jag om mitt svar till ett decimaltal? Dela täljaren med nämnaren. 5/12 blir 5 ÷ 12 = 0,41666…, en period som upprepas i all oändlighet eftersom 12 inte går jämnt upp i någon tiopotens.