Farklı Paydalı Kesirler Nasıl Toplanır ve Çıkarılır
Farklı paydalı iki kesri toplamak veya çıkarmak için önce ortak bir payda bulmanız gerekir, ideali iki paydanın en küçük ortak katı (EKOK). Her iki kesri bu ortak paydaya göre yeniden yazın, sonra yalnızca payları toplayın veya çıkarın, paydayı olduğu gibi bırakın. Aşağıda yöntemi dört adımda ve iki tam sayısal örnekle görebilirsiniz.
Adım adım yöntem
Bir kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü söyler. 1/4 ile 1/6 farklı büyüklükte parçalardır, biri bütünün dörtte biri, diğeri altıda biri, bu yüzden payları doğrudan toplamak anlamsızdır. Önce iki kesri aynı büyüklükteki parçalar cinsinden yazmanız gerekir, işte ortak payda tam olarak bunu sağlar.
- İki paydanın EKOK’unu bulun.
- Her kesri, bu ortak paydaya sahip eşdeğer bir kesre dönüştürün.
- Payları toplayın veya çıkarın, paydayı değiştirmeden bırakın.
- Sonucu sadeleştirin: pay ve paydayı en büyük ortak bölenlerine (EBOB) bölün.
Bu dört adım her zaman aynı sırayla işler, kesirler basit olsun ya da tam sayılı olsun.
EKOK’u bulmanın iki pratik yolu var. Küçük sayılarda katları sırayla yazıp ilk ortak olanı bulmak yeterli (aşağıdaki örneklerde bu yöntemi kullanıyoruz). Daha büyük paydalarda ise asal çarpanlara ayırmak daha hızlıdır: her paydayı asal çarpanlarına ayırır, her asal çarpanı en yüksek üssüyle bir kez alır ve hepsini çarparsınız. İki yöntem de aynı sonucu verir, seçim tercih meselesidir.
Örnek 1: İki kesri toplama
1/4 + 1/6 işlemini ele alalım.
Önce paydaların EKOK’unu buluyoruz: 4’ün katları 4, 8, 12, 16… ve 6’nın katları 6, 12, 18… İlk ortak kat 12, yani EKOK(4, 6) = 12.
Şimdi her kesri 12 paydalı eşdeğerine çeviriyoruz. 1/4’ü 12’ye getirmek için pay ve paydayı 3 ile çarpıyoruz: 1/4 = 3/12. 1/6’yı 12’ye getirmek için pay ve paydayı 2 ile çarpıyoruz: 1/6 = 2/12.
Artık iki kesrin paydası aynı, sadece payları topluyoruz: 3/12 + 2/12 = 5/12.
Son adım sadeleştirme. 5 asal bir sayı ve 12’yi tam bölmüyor, yani 5 ile 12’nin ortak böleni 1’den başka yok. Sonuç zaten en sade hali: 1/4 + 1/6 = 5/12.
Örnek 2: Tam sayılı kesirlerle çıkarma
2 1/3 − 1 3/4 işlemini ele alalım. Burada bir farkla karşılaşıyoruz: her iki sayı da tam sayılı kesir, yani önce bileşik kesre çevirmemiz gerekiyor.
Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için tam sayıyı paydayla çarpıp paya ekliyorsunuz, payda aynı kalıyor. 2 1/3 için: (2 × 3) + 1 = 7, yani 2 1/3 = 7/3. 1 3/4 için: (1 × 4) + 3 = 7, yani 1 3/4 = 7/4.
Şimdi EKOK(3, 4)‘ü buluyoruz: 3’ün katları 3, 6, 9, 12… ve 4’ün katları 4, 8, 12… İlk ortak kat 12.
Her kesri 12 paydalı eşdeğerine çeviriyoruz: 7/3’ü 12’ye getirmek için pay ve paydayı 4 ile çarpıyoruz, 7/3 = 28/12. 7/4’ü 12’ye getirmek için pay ve paydayı 3 ile çarpıyoruz, 7/4 = 21/12.
Payları çıkarıyoruz, payda 12 olarak kalıyor: 28/12 − 21/12 = 7/12. 7 ile 12’nin ortak böleni 1’den başka olmadığı için sonuç zaten en sade hali: 2 1/3 − 1 3/4 = 7/12.
Bunu ondalıkla da doğrulayabilirsiniz: 2 1/3 ondalık olarak 2,3333…, 1 3/4 ise 1,75 eder. Aradaki fark 0,58333… çıkıyor, bu da 7/12’nin ondalık karşılığı olan 0,41666… değil, 0,58333… ile tam örtüşüyor.
Tam sayılı kesirleri işlemden önce bileşik kesre çevirmek küçük gibi görünse de önemli bir adım. Çevirmeden doğrudan tam sayı kısımlarını (2 − 1 = 1) ve kesir kısımlarını (1/3 − 3/4) ayrı ayrı çıkarmaya kalkarsanız, kesir kısmı negatife düşer (1/3, 3/4’ten küçük) ve tam sayıdan “ödünç almanız” gerekir. Bu ödünç alma işlemi elle yapıldığında hata payı yüksek, oysa her iki sayıyı önce bileşik kesre çevirmek bu adımı tamamen ortadan kaldırıyor: elinizde tek bir çıkarma işlemi kalıyor, iki ayrı parçayı senkronize etmeniz gerekmiyor.
Sık kullanılan payda çiftleri ve EKOK’ları
Aşağıdaki tablo, sık karşılaşılan payda çiftlerinin EKOK’unu gösteriyor. Bu değerleri ezbere bilmek işlemi hızlandırır.
| Paydalar | EKOK |
|---|---|
| 2 ve 3 | 6 |
| 3 ve 4 | 12 |
| 4 ve 6 | 12 |
| 5 ve 10 | 10 |
| 6 ve 9 | 18 |
| 8 ve 12 | 24 |
Bir örüntü fark edeceksiniz: paydalardan biri diğerinin katıysa (4 ve 6’da olduğu gibi değil, 5 ve 10’da olduğu gibi) EKOK büyük olan sayının kendisidir. Paydaların ortak böleni yoksa (örneğin 5 ve 7 gibi) EKOK doğrudan ikisinin çarpımıdır, yani 35. Tablodaki her satırı bu iki kurala göre kontrol edebilirsiniz.
Kendi kesirlerinizi toplayın veya çıkarın
Payı ve paydayı girin, işlemi seçin, sonucu sadeleştirilmiş kesir, tam sayılı kesir ve ondalık olarak anında görün. Aşağıdaki araçla yukarıdaki örnekleri kendiniz de deneyebilir, kendi sayılarınızı test edebilirsiniz.
Sık yapılan hatalar
Paydaları doğrudan toplamak veya çıkarmak. Bu en yaygın hata. 1/2 + 1/3 işleminin sonucu 2/5 değildir, çünkü paydalar farklı ölçü birimleri gibi davranır ve doğrudan toplanamaz. Doğru sonuç 3/6 + 2/6 = 5/6’dır. Payda toplamda hiçbir zaman değişmez, çünkü toplananların hangi büyüklükte parçalardan oluştuğunu gösteren paydadır, parça sayısı olan pay değişir.
Hesaplamadan önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmeyi unutmak. Yukarıdaki ikinci örnekte gösterildiği gibi, çevirmeden ilerlemek özellikle çıkarma işleminde yanlış ve hatta negatif sonuçlara yol açabilir. Toplama işleminde de aynı kurala uyun: tam sayı kısımlarını ayrı toplayıp kesir kısımlarını ayrı toplamak mümkündür, ama kesir kısmının toplamı 1’i geçerse (örneğin 2/3 + 3/4 gibi) sonucu yeniden düzenlemeniz gerekir, bu yüzden en baştan bileşik kesre çevirmek daha güvenlidir.
Son sonucu sadeleştirmeyi unutmak. 6/8 gibi bir sonuç teknik olarak doğru olsa da beklenen biçim 3/4’tür. Her zaman pay ve paydanın ortak bölenini kontrol edin, özellikle EKOK yerine paydaların çarpımını kullandıysanız sadeleştirilecek bir şey kalma ihtimali yüksektir.
İki paydanın çarpımını kısayol olarak kullanmak. a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd formülü her zaman işe yarar ve EKOK aramadan hızlı bir sonuç verir, ama bd her zaman en küçük ortak payda olmayabilir. Örneğin 4 ve 6 için bu formül paydayı 24 yapar, oysa EKOK 12’dir. Sonuç yine doğru çıkar ama sadeleştirme adımında daha fazla iş kalır, üstelik büyük paydalarla elle sadeleştirme yapmak hata riskini artırır.
Sıkça sorulan sorular
İki kesrin paydası zaten aynıysa ne olur? O zaman EKOK aramaya gerek yok, sadece payları toplayın veya çıkarın ve paydayı olduğu gibi bırakın. Örneğin 3/8 + 2/8 = 5/8.
Çıkarmadan önce tam sayılı kesirleri çevirmem gerekir mi? Evet, özellikle ikinci sayının kesir kısmı birincisinden büyükse mutlaka çevirin. Aksi halde kesir kısmının çıkarması negatif çıkar ve tam sayıdan ödünç almanız gerekir, bu da elle yapıldığında hataya açıktır.
En küçük ortak katı bulmaktan daha hızlı bir yöntem var mı? Evet, çapraz çarpma yöntemi: a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd. Paydaların EKOK’unu aramadan doğrudan sonuca ulaştırır, bu yüzden özellikle zihinden hesap yaparken daha hızlıdır. Ama bd her zaman en küçük payda olmayabilir, bu yüzden sonunda ek bir sadeleştirme adımına ihtiyaç duyabilirsiniz. Küçük paydalarda fark önemsizdir, büyük paydalarda ise EKOK yöntemi genelde daha az sayı ile çalışmanızı sağlar.
Sonucumu ondalık sayıya nasıl çeviririm? Payı paydaya bölün. Örneğin 5/12 ondalık olarak 0,41666… eder, yani 4’ten sonra 6 rakamı sonsuza kadar tekrar eder. Aynı mantıkla 7/12 ondalık olarak 0,58333… eder, yukarıdaki ikinci örnekte gördüğünüz sonuçla birebir örtüşür.