分母が違う分数の足し算・引き算のやり方
分母が違う分数を足したり引いたりするには、まず2つの分母の共通の分母(できれば最小公倍数)を見つけ、両方の分数をその分母に書き換えてから、分子同士だけを足し算・引き算します。分母は最後までそのままです。
手順は4つだけ
- 2つの分母の最小公倍数を求める。 両方の分母で割り切れる一番小さい数です。
- それぞれの分数を、その最小公倍数を分母にした等しい分数に書き換える。 分子と分母に同じ数を掛けるので、分数の値そのものは変わりません。
- 分子同士を足し算・引き算する。分母はそのまま。 ここではじめて計算らしい計算をします。
- 結果を約分する。 分子と分母を最大公約数で割り、これ以上小さくできない形にします。
言葉で見ると当たり前に思えるかもしれませんが、実際の数字で1つずつ追ってみると、なぜこの順番が必要なのかがはっきりします。
実例1：1/4 + 1/6(足し算)
4と6の最小公倍数は12です。4も6も12を割り切るので、これが2つの分数を揃える先の分母になります。
- 1/4を12分の形にすると、分子・分母それぞれに3を掛けて3/12
- 1/6を12分の形にすると、分子・分母それぞれに2を掛けて2/12
分母が揃ったので、あとは分子を足すだけです。
3/12 + 2/12 = 5/125/12はこれ以上約分できません。5と12には1以外の共通の約数がないからです。答えは5/12でそのまま確定です。
実例2：2 1/3 − 1 3/4(引き算、帯分数あり)
帯分数同士の引き算は、そのまま整数部分と分数部分をバラバラに引こうとすると混乱しやすい計算です。ここでは最初に両方を仮分数に変換してから進めます。
ステップ1: 帯分数を仮分数にする
- 2 1/3 → (2×3+1)/3 = 7/3
- 1 3/4 → (1×4+3)/4 = 7/4
ステップ2: 3と4の最小公倍数を求める
3と4は掛け算以外に共通の約数がないので、最小公倍数はそのまま3×4=12です。
ステップ3: それぞれを12分の形にする
- 7/3 → 分子・分母に4を掛けて28/12
- 7/4 → 分子・分母に3を掛けて21/12
ステップ4: 分子を引く
28/12 − 21/12 = 7/127/12は約分できないので、これが最終的な答えです。
検算してみましょう。2 1/3は小数にすると2.3333…、1 3/4は1.75です。2.3333… − 1.75 = 0.5833…となり、7/12を小数にした0.58333…とぴったり一致します。
先に帯分数を仮分数へ変換しておくのがポイントです。もし整数部分と分数部分を別々に引こうとすると、2つ目の分数部分(3/4)のほうが1つ目の分数部分(1/3)より大きいため、整数部分から1を借りてくる「繰り下がり」の処理が必要になります。仮分数に変換してから計算すれば、この繰り下がりを気にする必要がなくなり、単純な引き算1回で済みます。
よく使う分母の組み合わせと最小公倍数
暗算で最小公倍数を探すときの参考に、よく出てくる組み合わせをまとめました。
| 分母の組み合わせ | 最小公倍数 |
|---|---|
| 2と3 | 6 |
| 3と4 | 12 |
| 4と6 | 12 |
| 5と10 | 10 |
| 6と9 | 18 |
| 8と12 | 24 |
一方がもう一方の倍数になっている組み合わせ(5と10、4と6ではない4と12など)では、最小公倍数は大きいほうの数と同じになります。5と10のように片方がもう片方を割り切る場合、10がそのまま最小公倍数です。
自分の分数で計算する
手計算で確かめたら、実際の分数を入れて結果を検証してみてください。
よくある間違い
- 分母同士をそのまま足したり引いたりしてしまう。 1/2 + 1/3は2/5ではありません。分母を揃えずに分母同士を足すのは分数の計算では成り立たないルールです。正しくは共通の分母6に揃えて3/6 + 2/6 = 5/6です。
- 計算前に帯分数を仮分数に変換し忘れる。 特に引き算では、整数部分と分数部分を別々に処理しようとして繰り下がりを見落としがちです。先に仮分数にしておけば、この種のミスはほぼ起こりません。
- 最終的な答えを約分し忘れる。 6/8のような形のまま答えにしてしまうと、正しい値ではあっても最も簡単な形ではありません。分子と分母の最大公約数で割り、3/4まで簡単にしましょう。
- 2つの分母の積をそのまま共通の分母として使う。 これは計算としては間違いではありませんが、最小公倍数より大きい数になることが多く、その分だけ最後の約分の手間が増えます。たとえば4と6なら、積の24を使っても計算はできますが、最小公倍数の12を使ったほうが数字が小さく済み、約分の手間も減ります。
よくある質問
2つの分数がすでに同じ分母だったらどうすればいいですか？ 分母を揃える手順は不要です。分子をそのまま足し算・引き算し、分母はそのまま使います。たとえば3/8 + 2/8 = 5/8です。
引き算の前に帯分数を変換する必要がありますか？ はい、特に2つ目の分数の分数部分が1つ目より大きいときは必須です。先に仮分数へ変換しておかないと、分数部分だけを引いたときにマイナスになってしまい、整数部分から繰り下げる処理が別途必要になります。仮分数に変換してから引けば、この手間を避けられます。
最小公倍数を探すより速い方法はありますか？ あります。クロス計算と呼ばれる方法で、a/b ± c/d = (ad ± cb) / bdという形で一気に計算できます。最小公倍数を探す手間がない分速いですが、分母bdが必ずしも最小公倍数とは限らないため、答えが大きな数になりやすく、最後にもう一段階約分が必要になることがあります。
答えを小数に変換するにはどうすればいいですか？ 分子を分母で割ります。5/12を小数にしたい場合は5 ÷ 12を計算すると0.41666…になります。